基础三十讲 · 复习总结

均值链（$a,b>0$）：$\dfrac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\le\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}$。

一阶（线性）：

二阶：

三阶（差式）：

广义化：以上 $x$ 可换成同一过程中的无穷小量 $\square→0$（“狗”原则），如 $\sin(\text{狗})\sim\text{狗}$（狗 $→0$）。

$1^{∞}$ 型幂指函数速算（$u→1, v→∞$）：

展开原则：① “上下同阶”——分母（分子）为 $k$ 次幂时，分子（分母）展开到 $k$ 次;
② “幂次最低”（A$-$B 型）——将 A、B 展开到系数不相等的最低次幂为止。
无穷小运算法则：$o(x^{m})\pm o(x^{n})=o(x^{l}) (l=\min\{m,n\})$;
$o(x^{m})\cdot o(x^{n})=o(x^{m+n})$;
$k\cdot o(x^{n})=o(x^{n}) (k\neq0)$。

（$x→∞$ 抓最高次项; $x→0$ 抓最低次项）

洛必达法则（$\frac{0}{0}$ 或 $\frac{∞}{∞}$ 型）：若 ① $x→ a$（或 $∞$）时 $f(x),F(x)$ 均趋于零（或均趋于无穷）;
② 去心邻域内 $f'(x),F'(x)$ 存在且 $F'(x)\neq0$;
③ $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}$ 存在（或为 $∞$），则

七种未定式：$\frac{0}{0}, \frac{∞}{∞}, 0\cdot∞, ∞-∞, ∞^{0}, 0^{0}, 1^{∞}$。

1. 增长速度（$x→+∞$）：$\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^{x}$（$\alpha,\beta>0, a>1$）。

2. $\lim\limits_{x→0^{+}}x^{\alpha}\ln x=0 (\alpha>0)$;
   $\lim\limits_{x→+∞}\frac{\ln x}{x^{\alpha}}=0$。

3. $\lim\limits_{n→∞}\Bigl(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+⋯+\frac{1}{n+n}\Bigr)=\ln 2$。

4. 夹逼准则：若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$ 且 $\lim\limits_{x\to x_{0}} g(x)=\lim\limits_{x\to x_{0}} h(x)=A$，则 $\lim\limits_{x\to x_{0}} f(x)=A$。

5. 单调性判别式（充要）：

6. 若 $\lim\limits_{x→ x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=A\neq0$ 且 $\lim\limits_{x\to x_{0}} f(x)=0$，则 $\lim\limits_{x\to x_{0}} g(x)=0$。

7. $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 在 $x>0$ 单调递减，且 $\lim\limits_{x→0^{+}}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$。

① 写增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$;
② 写线性主部 $A\Delta x=f'(x_0)\Delta x$;
③ 验证 $\lim\limits_{\Delta x→0}\dfrac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}=0$ 是否成立。

① 设 $\varphi(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则 $f(x)=|x-x_0| \varphi(x)$ 在 $x_0$ 处：

② $f(x)$ 在 $x_0$ 连续时 $|f(x)|$ 的可导性：

• $f(x_0)\neq0$：$|f(x)|$ 在 $x_0$ 必可导，且 $\bigl[|f(x)|\bigr]'\big|_{x_0}=\begin{cases}f'(x_0), & f(x_0)>0,\\[2pt] -f'(x_0), & f(x_0)<0;\end{cases}$

• $f(x_0)=0$：若 $f'(x_0)=0$，则 $|f(x)|$ 在 $x_0$ 可导且导数为 $0$;
  否则不可导（形成尖点）。

特别地：$F(x)=f(x) |x-a|$ 在 $x=a$ 处可导 $\iff f(a)=0$。

可导偶函数 $⇒$ $f'$ 为奇函数;
可导奇函数 $⇒$ $f'$ 为偶函数;
周期 $T$ 的可导函数 $⇒$ $f'$ 仍以 $T$ 为周期。

三因子推广：$(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$。
微分形式：$\mathrm{d}(uv)=v \mathrm{d}u+u \mathrm{d}v$，$\mathrm{d}\bigl(\frac uv\bigr)=\dfrac{v \mathrm{d}u-u \mathrm{d}v}{v^{2}}$。

微分形式不变性：无论 $u$ 是中间变量还是自变量，恒有 $\mathrm{d}y=f'(u) \mathrm{d}u$，即 $\mathrm{d}\{f[g(x)]\}=f'[g(x)] \mathrm{d}[g(x)]$。

适用于两函数乘积的高阶导数;
系数可用“杨辉三角”记忆。

第一充分条件：$f$ 在 $x_0$ 连续，在去心邻域内可导。
$f'$ 左正右负 $⇒$ 极大;
左负右正 $⇒$ 极小;
不变号 $⇒$ 非极值。（不要求 $x_0$ 可导，可用于尖点）
第二充分条件：$f'(x_0)=0$ 且 $f''(x_0)\neq0$：$f''(x_0)<0⇒$ 极大值;
$f''(x_0)>0⇒$ 极小值。
第三充分条件：$f^{(m)}(x_0)=0 (m=1,…,n-1)$，$f^{(n)}(x_0)\neq0 (n\ge2)$：当 $n$ 为偶数时 $x_0$ 是极值点（$f^{(n)}<0$ 极大、$>0$ 极小）;
$n$ 为奇数时不是极值点。

定义：连续曲线凹弧与凸弧的分界点 $(x_0,f(x_0))$（间断点不可能是拐点; 拐点要写坐标）。
判别法：$f''>0$ 凹，$f''<0$ 凸;
$f''$ 在 $x_0$ 两侧变号 $⇒$ $(x_0,f(x_0))$ 是拐点（第一充分条件，不要求二阶可导）。
第二充分条件：$f''(x_0)=0$ 且 $f'''(x_0)\neq0⇒$ 拐点。
第三充分条件：$f^{(m)}(x_0)=0 (m=2,…,n-1)$，$f^{(n)}(x_0)\neq0 (n\ge3)$：$n$ 为奇数时 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点。

铅直：$\lim\limits_{x→ x_0}f(x)=∞$（或单侧）$⇒ x=x_0$。
水平：$\lim\limits_{x→+∞}f(x)=y_1$ 或 $\lim\limits_{x→-∞}f(x)=y_2$ $⇒ y=y_1$ 或 $y=y_2$（左右可各一条）。
斜：若 $a=\lim\limits_{x→\pm∞}\dfrac{f(x)}{x}\neq0$ 且 $b=\lim\limits_{x→\pm∞}[f(x)-ax]$ 存在，则 $y=ax+b$ 为斜渐近线（同方向水平与斜渐近线不能共存）。
求解顺序：先铅直 $→$ 再水平 $→$ 最后斜。

带拉格朗日余项（$f$ 在 $x_0$ 邻域 $n+1$ 阶可导）：

$\xi$ 介于 $x$ 与 $x_0$ 之间。
带佩亚诺余项（$f$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导）：

$x_0=0$ 时称麦克劳林公式。
常用展开式见第1讲公式框。

直线运动：速度 $v(t)=s'(t)=\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$;
加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)=\dfrac{\mathrm{d}^{2}s}{\mathrm{d}t^{2}}$。
相关变化率：若 $y=f(x)$ 而 $x=x(t)$，则 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=f'(x)\cdot\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$（链式法则）;
一般由几何/物理关系建立 $A$、$B$ 间的等式，再两边对 $t$ 求导，代入已知变化率求未知变化率。

离散复利：年利率 $r$，一年计 $n$ 次息，$t$ 年后本利和

连续复利：$A_t=\lim\limits_{n→∞}A\bigl(1+\frac rn\bigr)^{nt}=Ae^{rt}$。
反解贴现：现值 $A=\dfrac{A_t}{e^{rt}}$;
使收入现值最大的时间 $t$ 满足对 $Ae^{rt}-C(t)$ 型函数求极值。

需求 $Q=Q(p)$（单减）;
供给 $q=q(p)$（单增）。
总成本 $C(Q)=C_1+\underbrace{C_2(Q)}_{\text{可变}}$;
平均成本 $\bar C=AC=\dfrac{C(Q)}{Q}$。
收益 $R(Q)=pQ$;
利润 $L(Q)=R(Q)-C(Q)$。
边际：$MC=C'(Q)$，$MR=R'(Q)$，$ML=L'(Q)$——自变量增加 1 个单位时因变量的近似改变量。
利润最大化条件：$MR=MC$，且 $ML'(Q)<0$（二阶验证）。

需求价格弹性：$\eta_d=\dfrac{EQ}{Ep}=\dfrac{p}{Q(p)}Q'(p)$（需求单减故 $\eta_d<0$，题目要求正数时取 $-\dfrac{p}{Q}Q'$）;
收益与弹性的关系：$\dfrac{\mathrm{d}R}{\mathrm{d}p}=Q(1-\eta)$。
经济含义：$p$ 上涨 1

严格化推论：$f,g$ 连续、$f\ge g$ 且不恒相等、$a<b$ $⇒$ $\int_a^b f \mathrm{d}x>\int_a^b g \mathrm{d}x$;
特别地，非负连续且不恒为零 $⇒\int_a^b f \mathrm{d}x>0$。

推广：$\displaystyle\int_a^{+∞}\frac{\mathrm{d}x}{(x-a)^{p}}$ 与 $\int_0^1$ 同（瑕点在左端）;
对数型 $\int_a^{+∞}\frac{\mathrm{d}x}{x(\ln x)^{p}}$ 当 $p>1$ 收敛。
奇偶性：$f$ 为偶（奇）函数且 $\int_0^{+∞}f \mathrm{d}x$ 收敛时，才有 $\int_{-∞}^{+∞}f \mathrm{d}x=2\int_0^{+∞}f \mathrm{d}x$（或 $=0$）。

原理：$\displaystyle\int f[g(x)]g'(x) \mathrm{d}x=\int f[g(x)] \mathrm{d}[g(x)]\overset{u=g(x)}{=}\int f(u) \mathrm{d}u.$

$\displaystyle\int f(x) \mathrm{d}x\xrightarrow{ x=g(u) }\int f[g(u)]g'(u) \mathrm{d}u$，要求 $g(u)$ 单调可导。
常用代换：

选 $u$ 原则：“反对幂指三”（反三角、对数优先作 $u$，指数、三角优先作 $v'$，求导后变简单）。
表格法（多次分部）：$\displaystyle\int uv^{(n+1)}\mathrm{d}x=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+⋯+(-1)^{n}u^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}v \mathrm{d}x$——对角线错位相乘、符号正负交替。
循环积分：$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \mathrm{d}x=\frac{e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)}{a^{2}+b^{2}}+C,\quad \int e^{ax}\cos bx \mathrm{d}x=\frac{e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)}{a^{2}+b^{2}}+C.$

假分式先除化为“$\text{多项式}+\text{真分式}$”;
真分式分母因式分解后拆最简分式：

例：$\displaystyle\frac{4x^{2}-6x-1}{(x+1)(2x-1)^{2}}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^{2}}$;
特值法/比较系数法定 $A,B,C$。
常用结果：$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{(1+x^{2})^{2}}=\frac{x}{2(1+x^{2})}+\frac12\arctan x+C$。

奇偶对称：$\displaystyle\int_{-a}^{a}f \mathrm{d}x=\begin{cases}2\int_0^a f \mathrm{d}x,&f\text{偶}\\[4pt] 0,&f\text{奇}\end{cases}$ 周期性（$f$ 以 $T$ 为周期）：$\displaystyle\int_a^{a+T}f \mathrm{d}x=\int_0^{T}f \mathrm{d}x=\int_{-\frac T2}^{\frac T2}f \mathrm{d}x$。
区间再现公式：$\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d}x$（作 $x=a+b-t$），两式相加常使复杂积分化简，如

常用推论：$\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}f(\sin x) \mathrm{d}x=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x) \mathrm{d}x$;
连续周期奇函数满足 $\int_0^T f \mathrm{d}x=0$。

上下限含参求导：

被积函数含 $x$ 时，先换元把 $x$ 移出积分号（如 $\int_0^x(x-t)f(t) \mathrm{d}t$ 先拆为 $x\int_0^x f-\int_0^x tf$）。
原函数奇偶性：$f$ 连续奇 $⇒$ 其全体原函数均为偶函数;
$f$ 连续偶 $⇒$ 只有 $\int_0^x f(t) \mathrm{d}t$ 是奇函数，其余原函数非奇非偶。
原函数周期性：$f$ 以 $T$ 为周期且 $\int_0^T f \mathrm{d}x=0\iff$ $\int_0^x f \mathrm{d}t$ 以 $T$ 为周期;
恒有 $F(x)-\frac{x}{T}\int_0^T f \mathrm{d}x$ 为周期函数。

直角坐标：$S=\displaystyle\int_a^b\bigl|y_1(x)-y_2(x)\bigr| \mathrm{d}x$（上下之差）。
参数方程：曲线 $\begin{cases}x=x(t)\\[4pt] y=y(t)\end{cases}$，则 $S=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\bigl|y(t) x'(t)\bigr| \mathrm{d}t$（本质是换元 $x=x(t)$）。
极坐标：曲边扇形 $S=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}r^{2}(\theta) \mathrm{d}\theta$;
两曲线之间 $S=\dfrac12\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\bigl|r_1^{2}(\theta)-r_2^{2}(\theta)\bigr| \mathrm{d}\theta$（微元 $\mathrm{d}S=\frac12r^{2} \mathrm{d}\theta$）。

圆盘法（绕 $x$ 轴）：$V_x=\displaystyle\int_a^b\pi y^{2}(x) \mathrm{d}x$;
绕 $y$ 轴且以 $y$ 为积分变量：$V_y=\displaystyle\int_c^d\pi x^{2}(y) \mathrm{d}y$。
柱壳法（长方体法）：$[a,b]$ 上曲边梯形（$y=f(x)\ge0$）绕 $y$ 轴旋转：

绕任意直线旋转：曲线 $y=f(x)$（$a\le x\le b$）绕不过它的直线 $L_0:Ax+By+C=0$ 旋转一周：

已知平行截面面积：$V=\displaystyle\int_a^b A(x) \mathrm{d}x$（圆盘法是其 $A=\pi f^{2}$ 的特例）。

弧长微元 $\mathrm{d}s=\sqrt{(\mathrm{d}x)^{2}+(\mathrm{d}y)^{2}}$：

平均值：$\bar y=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x$（积分中值定理即“$\exists \xi$ 使 $f(\xi)=\bar y$”）。
平面图形形心（区域 $D: 0\le y\le f(x), a\le x\le b$）：

记忆：分母是面积，分子是“坐标 $\times$ 截线长”的积分;
$\bar y$ 的分子出现 $\frac12$ 源于竖条的形心在半高处。
旋转体体积的形心应用（古尔金定理思想）：$V=2\pi\bar x\cdot S$（旋转体体积 $=$ 形心所走路程 $\times$ 截面面积）。

含参积分 $\int_0^1 f(x)e^{-nx}\mathrm{d}x$ 型：中值定理得 $f(\xi_n)\int_0^1 e^{-nx}\mathrm{d}x$，注意 $\xi_n$ 依赖 $n$，需对 $f(\xi_n)$ 作一致估计。

变力沿直线做功：力 $F(x)$ 方向沿 $x$ 轴正向，物体由 $a$ 移到 $b$：

抽水做功：将容器中水全部抽出，水深 $x$ 处水平截面面积为 $A(x)$，水的密度 $\rho$，重力加速度 $g$：

关键：写出 $A(x)$（由容器形状确定），其余量固定。

静水压力：垂直浸没的平板一侧所受水压力（压强随深度变化）：

其中 $x$ 为水深，$f(x)-h(x)$ 为该深度处平板的水平宽度。
微元 $\mathrm{d}P=\rho g x\cdot\text{宽度}\cdot\mathrm{d}x$。
引力：长为 $l$、线密度 $\mu$ 的细棒对距离 $a$ 处质量为 $m$ 的质点（沿棒方向）：

质心与形心：质心是质量分布中心（固有物理量）;
形心是几何中心（固有几何量）;
密度均匀（常数）时二者重合。
$n$ 个质点：$\bar x=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^{n} x_i m_i}{\sum\limits_{i=1}^{n} m_i}$。
曲线段 $L:y=f(x) (a\le x\le b)$、线密度 $\rho(x)$ 绕直线 $L_0:ax+by+c=0$ 的静力矩：

古尔金第一定理：曲线段绕不相交直线旋转一周的侧面积 $=$ 弧长 $\times$ 形心所走路程：

古尔金第二定理：平面图形绕不相交直线旋转一周的旋转体体积 $=$ 面积 $\times$ 形心所走路程：$V=2\pi\bar x\cdot S$。

固定成本 $C_0$、边际成本 $C'(Q)$、边际收益 $R'(Q)$：

平均收益 $\bar R(Q)=\frac{R(Q)}{Q}$;
最大利润在 $MR=MC$（即 $L'(Q)=0$）处取得。

设 $z=f(u,v)$，$u=\varphi(x,y)$，$v=\psi(x,y)$：

单中间变量 $z=f(u),u=u(t)$：$\dfrac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}=f'(u)\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$（全导数）。
抽象函数记号：$f'_1,f'_2$ 表示对第 1、2 位置的变量求导，如 $f'_x(x,e^{x})=f'_1(x,e^{x})$;
“换汤不换药”——求导后的新函数 $f'_1,f'_2$ 与原 $f$ 复合结构完全相同。
全微分形式不变性：无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，$\mathrm{d}z=f'_u \mathrm{d}u+f'_v \mathrm{d}v$ 恒成立。
区域 $D$ 上 $\mathrm{d}f\equiv0\iff f\equiv C$。

一个方程：$F(x,y)=0$ 确定 $y=y(x)$（需 $F'_y\neq0$）：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{F'_x}{F'_y}$。
$F(x,y,z)=0$ 确定 $z=z(x,y)$（需 $F'_z\neq0$）：

方程组的隐函数组：由 $\begin{cases}F(x,y,u,v)=0\\[4pt] G(x,y,u,v)=0\end{cases}$ 确定 $u(x,y),v(x,y)$：对 $x$ 求偏导解线性方程组，或用雅可比行列式 $J=\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\neq0$ 时 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=-\dfrac{1}{J}\dfrac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}$ 等。

一个约束：求 $f(x,y)$ 在约束 $\varphi(x,y)=0$ 下的极值，构造

两个约束（三元）：$L(x,y,z,\lambda,\mu)=f+\lambda\varphi+\mu\psi$，五个方程联立。
闭区域最值步骤：(1) 内部驻点（含偏导不存在的点）; (2) 边界上条件极值（拉格朗日乘数法或代入消元）; (3) 比较所有候选点的函数值。
依据：有界闭区域上连续函数必有最值。

设 $f,g$ 在有界闭区域 $D$ 上可积，$A$ 为 $D$ 的面积：

1. 线性：$\displaystyle\iint_D(k_1f\pm k_2g) \mathrm{d}\sigma=k_1\iint_D f \mathrm{d}\sigma\pm k_2\iint_D g \mathrm{d}\sigma$;

2. 可加性：$D=D_1\cup D_2$（内部不重叠）$⇒\displaystyle\iint_D=\iint_{D_1}+\iint_{D_2}$;

3. 保号性：$f\le g$ 于 $D$ $⇒\displaystyle\iint_D f\le\iint_D g$;
   特别 $\Bigl|\iint_D f\Bigr|\le\iint_D|f|$;

4. 估值定理：$m\le f\le M$（$m,M$ 为最小、最大值）$⇒ mA\le\displaystyle\iint_D f \mathrm{d}\sigma\le MA$;

5. 中值定理：$f$ 连续 $⇒$ 存在 $(\xi,\eta)\in D$，使 $\displaystyle\iint_D f \mathrm{d}\sigma=f(\xi,\eta)\cdot A$;

6. 可积必有界。

X型（先 $y$ 后 $x$）：$D: \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x), a\le x\le b$

Y型（先 $x$ 后 $y$）：$D: \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y), c\le y\le d$

定限口诀：后积分的变量先定限（外层限为常数），先积分的变量后定限（内层限可为外层变量的函数）。

极点在区域外：$\displaystyle\iint_D f=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta) r \mathrm{d}r$;
极点在边界上：$\displaystyle\iint_D f=\int_{\alpha}^{\beta}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta) r \mathrm{d}r$;
极点在内部：$\displaystyle\iint_D f=\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta) r \mathrm{d}r$. 选极坐标的判据（满足其一优先）：被积函数含 $x^{2}+y^{2}$、$\frac yx$、$\arctan\frac yx$ 等;
区域为圆域、圆环、扇形或其一部分。

① 可分离变量：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)$ $⇒\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x) \mathrm{d}x$（$g(y)$ 可能取零的点需单独讨论“奇解”）。
② 齐次型：$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\bigl(\frac yx\bigr)$，令 $u=\frac yx$，则 $x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\varphi(u)-u$，化为可分离变量;
形如 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)$ 的方程令 $u=ax+by+c$ 同理。
③ 一阶线性：$y'+p(x)y=q(x)$，通解公式

（等价积分形式 $y=e^{-\int_{x_0}^x p(t)\mathrm{d}t}\Bigl[\int_{x_0}^x q(t)e^{\int_{x_0}^t p(s)\mathrm{d}s} \mathrm{d}t+C\Bigr]$，研究解的性质时常用）。
④ 伯努利方程（数一）：$y'+p(x)y=q(x)y^{n} (n\neq0,1)$，令 $z=y^{1-n}$ 化为一阶线性：

缺 $y$ 型 $y''=f(x,y')$：令 $y'=p(x)$，则 $y''=p'$，化为 $p'=f(x,p)$（一阶），解出 $p$ 后再积分一次。
缺 $x$ 型 $y''=f(y,y')$：令 $y'=p(y)$，则 $y''=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$（不能写成 $p'$），化为 $p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$。

方程 $y''+py'+qy=0$，特征方程 $r^{2}+pr+q=0$，判别式 $\Delta=p^{2}-4q$：

方程 $y''+py'+qy=f(x)$。
通解结构：$y=Y(x)+y^*(x)$（齐次通解 $+$ 非齐次特解）;
叠加原理成立。
类型 I：$f(x)=P_m(x)e^{\alpha x}$，设

$Q_m(x)$ 为与 $P_m$ 同次的系数待定多项式。
类型 II：$f(x)=e^{\alpha x}\bigl[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x\bigr]$，设

$k=\begin{cases}0,&\alpha\pm\beta i \text{不是特征根},\\[4pt] 1,&\alpha\pm\beta i \text{是特征根}.\end{cases}$ （口诀：“一看二算三比较”——看自由项结构、算 $\alpha\pm\beta i$ 是否特征根、比多项式次数。）

$n$ 阶齐次通解对应项：单实根 $r→ Ce^{rx}$;
$k$ 重实根 $r→(C_1+⋯+C_kx^{k-1})e^{rx}$;
单复根 $\alpha\pm\beta i→ e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$;
二重复根 $→ e^{\alpha x}[(C_1+C_2x)\cos\beta x+(C_3+C_4x)\sin\beta x]$。
欧拉方程：$x^{n}y^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+⋯+p_{n-1}xy'+p_ny=f(x)$，令 $x=e^{t}$（$t=\ln x$）：

化为常系数线性方程求解（最后用 $t=\ln x$ 回代）。

差分：$\Delta y_t=y_{t+1}-y_t=f(t+1)-f(t)$;
$\Delta^{2}y_t=y_{t+2}-2y_{t+1}+y_t$。
方程 $y_{t+1}+ay_t=f(t)$（$a\neq0$）： 齐次通解 $y_c(t)=C(-a)^{t}$;
通解 $=y_c+y^{*}$（结构定理 $+$ 叠加原理）。
特解设定：$f(t)=d^{t}P_m(t)$ 时设 $y^{*}=d^{t}Q_m(t)$（$a+d\neq0$）或 $y^{*}=t d^{t}Q_m(t)$（$a+d=0$）;
$f(t)=b_1\cos\omega t+b_2\sin\omega t$ 时设 $y^{*}=\alpha\cos\omega t+\beta\sin\omega t$，行列式 $D=\begin{vmatrix}a+\cos\omega&\sin\omega\\[2pt]-\sin\omega&a+\cos\omega\end{vmatrix}\neq0$;
$D=0$ 时乘 $t$。

切线/法线截距型：设切点 $(x,y)$，写出切线方程，用“切线在两轴上的截距”“切线夹于两坐标轴间被切点平分”等几何条件列方程;
追及轨迹：追及点连线即被追点轨迹的切线方向。
牛顿第二定律：$ma=F$;
阻力与速度成正比时 $m\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-kv$;
与 $x$、$v$ 关联时用 $a=\dfrac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}t^{2}}=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=v\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$（换元消 $t$）。
牛顿冷却定律：$\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}=-k(T-T_0)$（$T_0$ 为环境温度），解得 $T(t)=Ce^{-kt}+T_0$。

设 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n,\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛：

1. 线性：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(au_n\pm bv_n)=a\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n\pm b\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$;

2. 改变（增删改）任意有限项，不改变敛散性;

3. 收敛级数任意加括号仍收敛且和不变;
   逆否：加括号后发散 $⇒$ 原级数发散;
   但加括号后收敛 $\not⇒$ 原级数收敛（如 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a$，$a\neq0$）;

4. 必要条件：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $⇒\lim\limits_{n\to\infty} u_n=0$（反之不然，如调和级数）;

5. 运算：收敛 $\pm$ 发散 $=$ 发散;
   发散 $\pm$ 发散 $⇒$ 不定。

等比（几何）级数：$\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}aq^{n}=\begin{cases}\dfrac{a}{1-q},&|q|<1,\\[4pt] \text{发散},&|q|\ge1.\end{cases}$ $p$ 级数：$\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{n^{p}} \begin{cases}\text{收敛},&p>1,\\[4pt] \text{发散},&p\le1.\end{cases}$ 推广：$\displaystyle\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{q}n}$ 与 $\displaystyle\int_2^{+∞}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln^{q}x}$ 同敛散（$q>1$ 收敛，$q\le1$ 发散）;
$\displaystyle\sum_{n=2}^{∞}\frac{1}{n\ln n}$ 发散;
$\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$。

1. 收敛原理（充要）：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛 $\iff$ 部分和数列 $\{S_n\}$ 有界;

2. 比较判别法：$n\ge N$ 时 $u_n\le v_n$：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 $⇒\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛;
   $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散 $⇒\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散（“大收小必收，小散大必散”）;

3. 比较判别法极限形式：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=A$。
   $0<A<+∞$：同敛散;
   $A=0$：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 收敛 $⇒\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛;
   $A=+∞$：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散 $⇒\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散;

4. 比值（达朗贝尔）：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散，$\rho=1$ 失效（含 $n!$、$a^{n}$、$n^{n}$ 优先用）;

5. 根值（柯西）：$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散，$\rho=1$ 失效（含 $[f(n)]^n$ 优先用）;

6. 积分判别法：$f(x)$ 在 $[1,+∞)$ 单调不增、非负连续且 $u_n=f(n)$：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\displaystyle\int_1^{+∞}f(x) \mathrm{d}x$ 同敛散（如 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}$ 与 $\int_1^{+∞}\frac{\mathrm{d}x}{x^{p}}$）。

莱布尼茨判别法：交错级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$（$u_n>0$），若 ① $u_n$ 单调不增;
② $\lim\limits_{n\to\infty} u_n=0$，则级数收敛（充分非必要; $u_n$ 不单调时尝试拆项处理）。
绝对收敛与条件收敛：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 收敛 $⇒\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 绝对收敛（必收敛）;
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}|u_n|$ 发散 $⇒$ 条件收敛。
交错 $p$ 级数：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}$：$p>1$ 绝对收敛;
$0<p\le1$ 条件收敛。
根值判别的发散推论：$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|u_n|}=\rho>1 ⇒ u_n\not→0 ⇒ \sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散（含于绝对值发散但通项不趋于零的情形）。
正负项分解：$v_n=\frac{u_n+|u_n|}2, w_n=\frac{|u_n|-u_n}2$（均非负）。
结论：绝对收敛 $⇒ v,w$ 都收敛;
条件收敛 $⇒ v,w$ 都发散。
两级数相加：绝对 $\pm$ 绝对 $=$ 绝对;
绝对 $\pm$ 条件 $=$ 条件;
条件 $\pm$ 条件 $=$ 收敛（绝对或条件不定）。

连续性：和函数 $S(x)$ 在收敛域上连续（端点收敛则单侧连续——阿贝尔定理）。
逐项求导（收敛区间内）：$S'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}na_nx^{n-1}$，收敛半径不变，收敛域可能缩小（端点丢失）。
逐项积分：$\displaystyle\int_0^xS(t) \mathrm{d}t=\sum_{n=0}^{∞}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，收敛半径不变，收敛域可能扩大（端点获得）。
线性组合与乘积：$R\ge\min\{R_a,R_b\}$;
两半径相等时和差级数半径可能变大（如 $(1+2^{n})+(1-2^{n})=2$）。
恒等变形：$\sum_{n=k}^{∞}a_nx^{n}=x^{l}\sum_{n=k}^{∞}a_nx^{n-l}$（通项、下标联动）;
提走有限项：$\sum_{n=k}^{∞}=\underbrace{a_kx^k+⋯+a_{k+l-1}x^{k+l-1}}_{\text{有限项}}+\sum_{n=k+l}^{∞}$。
求和函数总路线：定收敛域 $→$ 观察通项 $→$ “(an+b) 在分母先求导，在分子先积分” $→$ 化为 $\frac{1}{1-x}$ 型 $→$ 逆运算还原（先积后导用 $S(x)=S(0)+\int_0^xS'(t)\mathrm{d}t$）$→$ 附加端点值。
抽象递推型可对 $S$ 建立微分方程求解。

$(1+x)^{\alpha}$ 的收敛域：$\alpha\le-1$：$(-1,1)$;
$-1<\alpha<0$：$(-1,1]$;
$\alpha>0$（非正整数）：$[-1,1]$;
$\alpha\in\mathbb{N}_{+}$：$(-∞,+∞)$。
衍生结论：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x) (x\in[-1,1))$;
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}} (-1<x<1)$;
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}=\sin x$ 的变形用于数项级数求和。

设 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期且在 $[-l,l]$ 上可积：

狄利克雷收敛定理：若 $f$ 在 $[-l,l]$ 上连续或只有有限个第一类间断点、至多有限个极值点，则傅里叶级数处处收敛，且和函数

正弦级数（奇延拓）：$b_n=\dfrac2l\displaystyle\int_0^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l} \mathrm{d}x$，$f(x)\sim\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{n\pi x}{l}$;
余弦级数（偶延拓）：$a_n=\dfrac2l\displaystyle\int_0^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l} \mathrm{d}x$，$f(x)\sim\dfrac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{n\pi x}{l}$。

数量积（点积）：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$。
$\boldsymbol a\perp\boldsymbol b\iff\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=0$;
投影 $\mathrm{Prj}_{\boldsymbol b}\boldsymbol a=\dfrac{\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b}{|\boldsymbol b|}$。
向量积（叉积）： $\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\[2pt]a_x&a_y&a_z\\[6pt]b_x&b_y&b_z\end{vmatrix}$，$|\boldsymbol a\times\boldsymbol b|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$（平行四边形面积），方向右手定则。
$\boldsymbol a // \boldsymbol b\iff\dfrac{a_x}{b_x}=\dfrac{a_y}{b_y}=\dfrac{a_z}{b_z}$（零分量可允许，视作比例式）。
混合积：$[\boldsymbol{abc}]=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\[2pt]b_x&b_y&b_z\\[6pt]c_x&c_y&c_z\end{vmatrix}$。
绝对值 $=$ 平行六面体体积;
$[\boldsymbol{abc}]=0\iff$ 三向量共面;
轮换不变 $[\boldsymbol{abc}]=[\boldsymbol{bca}]=[\boldsymbol{cab}]$，交换变号。
方向余弦：$\cos\alpha=\dfrac{a_x}{|\boldsymbol a|}, \cos\beta=\dfrac{a_y}{|\boldsymbol a|}, \cos\gamma=\dfrac{a_z}{|\boldsymbol a|}$，满足 $\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1$;
单位向量 $\boldsymbol a^{0}=\dfrac{\boldsymbol a}{|\boldsymbol a|}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$。

一般式：$Ax+By+Cz+D=0$（法向量 $\boldsymbol n=(A,B,C)$）;
点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$;
三点式：$\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\[2pt]x-x_2&y-y_2&z-z_2\\[6pt]x-x_3&y-y_3&z-z_3\end{vmatrix}=0$;
截距式：$\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$;
平面束：过直线 $\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\[4pt] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$ 的平面： $A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$。

一般式（交面式）：$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\[4pt] A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$（方向向量 $\boldsymbol\tau=\boldsymbol n_1\times\boldsymbol n_2$）;
点向式：$\dfrac{x-x_0}{l}=\dfrac{y-y_0}{m}=\dfrac{z-z_0}{n}$;
参数式：$x=x_0+lt, y=y_0+mt, z=z_0+nt$。
位置关系：$L_1\perp L_2\iff\boldsymbol\tau_1\cdot\boldsymbol\tau_2=0$;
$L_1 // L_2\iff$ 分量成比例;
$\pi_1\perp\pi_2\iff\boldsymbol n_1\cdot\boldsymbol n_2=0$;
$\pi_1 // \pi_2\iff\boldsymbol n_1 // \boldsymbol n_2$;
$L\perp\pi\iff\boldsymbol\tau // \boldsymbol n$;
$L // \pi\iff\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol n=0$;
线面角 $\sin\theta=\dfrac{|\boldsymbol\tau\cdot\boldsymbol n|}{|\boldsymbol\tau||\boldsymbol n|}$。
距离公式：点到平面 $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$;
点到直线 $d=\dfrac{|\boldsymbol\tau\times\overrightarrow{M_0M_1}|}{|\boldsymbol\tau|}$。

旋转曲面：坐标面上曲线绕坐标轴旋转——“绕谁旋转谁不变，另一变量换成其余两变量的平方和”。
如 $xOz$ 面上曲线 $f(x,z)=0$ 绕 $z$ 轴旋转：$f(\pm\sqrt{x^{2}+y^{2}},z)=0$;
绕 $x$ 轴：$f(x,\pm\sqrt{y^{2}+z^{2}})=0$。
一般曲线 $x=f(z),y=f_1(z)$ 绕 $z$ 轴：$x^{2}+y^{2}=[f(z)]^{2}+[f_1(z)]^{2}$。
投影曲线：空间曲线 $\begin{cases}F(x,y,z)=0\\[4pt] G(x,y,z)=0\end{cases}$ 消去 $z$ 得 $H(x,y)=0$，即投影柱面;
投影曲线为 $\begin{cases}H(x,y)=0\\[4pt] z=0\end{cases}$。
常见二次曲面（要会画）：椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$;
单叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$;
双叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$;
椭圆抛物面 $z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$;
双曲抛物面（马鞍面）$z=\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}$;
椭圆锥面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2}$;
各类柱面（母线平行于坐标轴，缺哪个变量就平行于哪条轴）。

设 $u=f(x,y,z)$ 在 $P_0$ 可微，$\boldsymbol l^{0}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为单位方向向量：

梯度：$\mathbf{grad} u=\Bigl(\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial u}{\partial y},\dfrac{\partial u}{\partial z}\Bigr)$;
梯度方向 $=$ 方向导数最大的方向，模 $|\mathbf{grad} u|=\sqrt{u_x'^{2}+u_y'^{2}+u_z'^{2}}$ $=$ 方向导数的最大值;
沿负梯度方向减少最快;
与梯度垂直的方向上方向导数为零。

设向量场 $\boldsymbol A=(P,Q,R)$：

记忆：$\mathbf{rot} \boldsymbol A=\mathbf{grad}\times\boldsymbol A$（“升维叉乘”），$\mathbf{div} \boldsymbol A=\mathbf{grad}\cdot\boldsymbol A$。

参数式：$L: x=x(t),y=y(t) (\alpha\le t\le\beta)$，

直角坐标：$y=y(x)$ 时 $\mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}} \mathrm{d}x$;
极坐标：$r=r(\theta)$ 时 $\mathrm{d}s=\sqrt{r^{2}+r'^{2}} \mathrm{d}\theta$。
物理意义：线密度 $f$ 的曲线质量 $M=\int_L f \mathrm{d}s$;
$\int_L\mathrm{d}s=L$（弧长）。

曲面 $z=z(x,y)$（$xy$ 型）投影到 $D_{xy}$：

“一代二换三投影”：代入曲面方程、换 $\mathrm{d}S$、向坐标面投影。
物理意义：面密度 $f$ 的曲面质量。
若平行某坐标轴的直线交曲面多于一点，需分片处理。

两类联系：$\displaystyle\int_L P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}y=\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta) \mathrm{d}s$，其中 $(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为 $L$ 沿方向的单位切向量。
空间：$\displaystyle\int_\Gamma P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}y+R \mathrm{d}z$，两类联系用 $\boldsymbol\tau^{0}$。

设闭区域 $D$ 由分段光滑闭曲线 $L$ 围成，$P,Q$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，$L$ 取正向（左手在区域内侧）：

补线法：$L$ 不封闭 $⇒$ 补有向线（段）$L_1$ 使 $L+L_1$ 封闭， $\displaystyle\int_L=\oint_{L+L_1}-\int_{L_1}$。
挖洞法：$D$ 内含奇点（$P,Q$ 无定义或偏导不连续）$⇒$ 作小圆（椭圆）$L_\varepsilon$ 包住奇点，在复连通区域上用格林公式;
常用结论：对 $\displaystyle\oint_L\frac{x \mathrm{d}y-y \mathrm{d}x}{x^{2}+y^{2}}$ 型，挖去小圆后沿任意同向闭路积分相等，小圆上算得 $\displaystyle\oint_{L_\varepsilon}\frac{x \mathrm{d}y-y \mathrm{d}x}{x^{2}+y^{2}}=2\pi$（逆时针）。
对称性：$L$ 关于 $y$ 轴对称，$P$ 关于 $x$ 为偶（奇）$⇒\int_LP \mathrm{d}x$ 为零（倍），$Q \mathrm{d}y$ 反之。

设 $P,Q$ 在单连通区域 $G$ 内有一阶连续偏导数，则下列四条等价：

原函数求法（折线法）：$u(x,y)=\displaystyle\int_{x_0}^{x}P(t,y_0) \mathrm{d}t+\int_{y_0}^{y}Q(x,t) \mathrm{d}t+C$;
且 $\displaystyle\int_{(x_1,y_1)}^{(x_2,y_2)}P \mathrm{d}x+Q \mathrm{d}y=u(x_2,y_2)-u(x_1,y_1)$。

直接投影法：$\iint_\Sigma R \mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)] \mathrm{d}x\mathrm{d}y$，曲面上侧取 $+$、下侧取 $-$（$P \mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 向 $yz$ 面、前侧 $+$; $Q \mathrm{d}z\mathrm{d}x$ 向 $zx$ 面、右侧 $+$）。
转换投影法（$xy$ 型曲面，一网打尽三项）：

两类联系：$\displaystyle\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma) \mathrm{d}S$，$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 为指定侧单位法向量。

高斯公式：闭曲面 $\Sigma$ 取外侧，$\Omega$ 为其围成区域：

补面法：$\Sigma$ 不封闭 $⇒$ 补 $\Sigma_1$ 使封闭，$\displaystyle\iint_\Sigma=\oiint_{\Sigma+\Sigma_1}-\iint_{\Sigma_1}$。
挖洞法：$\Omega$ 含奇点 $⇒$ 挖小球面 $\Sigma_\varepsilon$（同侧）， $\displaystyle\oiint_{\Sigma}=\oiint_{\Sigma_\varepsilon}$（对 $\frac{x \mathrm{d}y\mathrm{d}z+y \mathrm{d}z\mathrm{d}x+z \mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{3/2}}$ 型，小球面上恒为 $4\pi$）。
斯托克斯公式：$\Gamma=\partial\Sigma$，方向与 $\boldsymbol n^{0}$ 成右手系：

一阶：$\sin x\sim\tan x\sim\arcsin x\sim\arctan x\sim\ln(1+x)\sim e^{x}-1\sim x$;
$a^{x}-1\sim x\ln a$;
$(1+x)^{\alpha}-1\sim\alpha x$;
$1-\cos x\sim\frac{x^{2}}{2}$;
$1-\sqrt{\cos x}\sim\frac{x^{2}}{4}$。
高阶差式：$x-\sin x\sim\arcsin x-x\sim\frac{x^{3}}{6}$;
$x-\arctan x\sim\tan x-x\sim\frac{x^{3}}{3}$;
$\tan x-\sin x\sim\frac{x^{3}}{2}$;
$x-\ln(1+x)\sim\frac{x^{2}}{2}$。
增长速度（$x→+∞$）：$\ln^{\alpha}x\ll x^{\beta}\ll a^{x}$（$a>1$）;
增长速度快的吃掉慢的。

$\displaystyle\lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}=1$;
$\displaystyle\lim_{\square→∞}\Bigl(1+\frac1{\square}\Bigr)^{\square}=e$;
$1^{∞}$ 型：$\lim\limits_{u\to 1} u^{v}=e^{\lim\limits_{u\to 1} v(u-1)}$（$u→1,v→∞$）;
$\displaystyle\lim_{x→∞}\Bigl(1+\frac ax\Bigr)^{bx+c}=e^{ab}$;
$\displaystyle\lim_{x→∞}\Bigl(\frac{x+a}{x-a}\Bigr)^{x}=e^{2a}$;
$\displaystyle\lim_{x→0^{+}}x^{\alpha}\ln x=0 (\alpha>0)$。

高阶：$(e^{ax})^{(n)}=a^{n}e^{ax}$;
$(\sin ax)^{(n)}=a^{n}\sin\bigl(ax+\frac{n\pi}2\bigr)$;
$(\cos ax)^{(n)}=a^{n}\cos\bigl(ax+\frac{n\pi}2\bigr)$;
$\Bigl(\dfrac1{ax+b}\Bigr)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n}a^{n}n!}{(ax+b)^{n+1}}$;
$(\ln(ax+b))^{(n)}=\dfrac{(-1)^{n-1}a^{n}(n-1)!}{(ax+b)^{n}}$;
$\bigl(x^{\mu}\bigr)^{(n)}=\mu(\mu-1)⋯(\mu-n+1)x^{\mu-n}$。
莱布尼茨：$(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom nk u^{(n-k)}v^{(k)}$。

$\displaystyle\int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C (k\neq-1)$;
$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C$;
$\displaystyle\int e^{x}\mathrm{d}x=e^{x}+C$;
$\displaystyle\int a^{x}\mathrm{d}x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$;
$\displaystyle\int\sin x \mathrm{d}x=-\cos x+C$;
$\displaystyle\int\cos x \mathrm{d}x=\sin x+C$;
$\displaystyle\int\tan x \mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C$;
$\displaystyle\int\cot x \mathrm{d}x=\ln|\sin x|+C$;
$\displaystyle\int\sec x \mathrm{d}x=\ln|\sec x+\tan x|+C$;
$\displaystyle\int\csc x \mathrm{d}x=\ln|\csc x-\cot x|+C$;
$\displaystyle\int\sec^{2}x \mathrm{d}x=\tan x+C$;
$\displaystyle\int\csc^{2}x \mathrm{d}x=-\cot x+C$;
$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}+x^{2}}=\frac1a\arctan\frac xa+C$;
$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{a^{2}-x^{2}}=\frac1{2a}\ln\Bigl|\frac{a+x}{a-x}\Bigr|+C$;
$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\arcsin\frac xa+C$;
$\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}=\ln\Bigl|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\Bigr|+C$;
$\displaystyle\int\sqrt{a^{2}-x^{2}} \mathrm{d}x=\frac{a^{2}}2\arcsin\frac xa+\frac x2\sqrt{a^{2}-x^{2}}+C$。

$\displaystyle\int_{-a}^{a}f \mathrm{d}x=\int_0^a[f(x)+f(-x)] \mathrm{d}x$;
$\displaystyle\int_a^b f(x) \mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x) \mathrm{d}x$（区间再现）;
华里士：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^{n}x \mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x \mathrm{d}x=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\begin{cases}\frac\pi2,& n \text{偶}\\[4pt] 1,&n \text{奇}\end{cases}$;
$\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^{n}\frac x2 \mathrm{d}x=2\int_0^{\pi/2}\sin^{n}t \mathrm{d}t$。
周期：$\displaystyle\int_a^{a+T}f=\int_0^T f$;
$\displaystyle\int_0^{nT}f=n\int_0^T f$。
$\Gamma$ 函数：$\displaystyle\Gamma(s)=\int_0^{+∞}x^{s-1}e^{-x}\mathrm{d}x=\Gamma(s+1)/s$，$\Gamma(n+1)=n!$，$\Gamma\bigl(\tfrac12\bigr)=\sqrt\pi$。

$S_{xy}=\displaystyle\int|y_1-y_2| \mathrm{d}x$;
$S_{\text{极}}=\dfrac12\displaystyle\int r^{2} \mathrm{d}\theta$;
$V_x=\pi\displaystyle\int y^{2} \mathrm{d}x$;
$V_y=2\pi\displaystyle\int x|y| \mathrm{d}x$（柱壳）;
$V=2\pi\displaystyle\int d(x) |y| \mathrm{d}x$（绕任意水平线，$d$ 为旋转半径）;
绕一般直线用“$2\pi\times$形心路程”;
$\mathrm{d}s=\sqrt{1+y'^{2}} \mathrm{d}x=\sqrt{x'^{2}+y'^{2}} \mathrm{d}t=\sqrt{r^{2}+r'^{2}} \mathrm{d}\theta$;
$S_{\text{侧}}=2\pi\displaystyle\int|y| \mathrm{d}s$;
形心 $\displaystyle\bar x=\frac{\int x \mathrm{d}s}{L}$、$\displaystyle\bar y=\frac{\int \tfrac12 y^{2} \mathrm{d}x}{\int y \mathrm{d}x}$;
曲率 $K=\dfrac{|y''|}{(1+y'^{2})^{3/2}}$，$R=1/K$。

$p$ 级数：$p>1$ 收敛，$p\le1$ 发散;
比较：“大收小收，小散大散”;
比值/根值：$\rho<1$ 收，$\rho>1$ 散，$\rho=1$ 失效;
莱布尼茨：单减 $+ →0$ $⇒$ 收敛;
绝对收敛 $⇒$ 收敛。
常用和：$\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\frac1{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}6$;
$\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}x^{n}=\frac1{1-x} (|x|<1)$;
$\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}nx^{n-1}=\frac1{(1-x)^{2}}$;
$\displaystyle\sum_{n=1}^{∞}\frac{x^{n}}{n}=-\ln(1-x)$;
展开（必背）：$\displaystyle e^{x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}$;
$\displaystyle\sin x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$;
$\displaystyle\cos x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$;
$\displaystyle\frac1{1-x}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^{n}$;
$\displaystyle\ln(1+x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{n}}{n} (-1<x\le1)$;
$\displaystyle(1+x)^{\alpha}=1+\sum_{n=1}^{∞}\frac{\alpha(\alpha-1)⋯(\alpha-n+1)}{n!}x^{n} (-1<x<1)$;
$\displaystyle\arctan x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}$。

平移：$y=f(x\pm x_0)$ 左右平移（$+x_0$ 左移）;
$y=f(x)\pm y_0$ 上下平移（$+y_0$ 上移）。
对称：$y=-f(x)$ 关于 $x$ 轴;
$y=f(-x)$ 关于 $y$ 轴;
$y=-f(-x)$ 关于原点;
$y=f^{-1}(x)$ 关于 $y=x$;
$y=|f(x)|$：保留 $x$ 轴上方、下方翻折上去;
$y=f(|x|)$：保留 $y$ 轴右侧、左侧对称翻折。
伸缩：$y=f(kx)$ 横坐标缩为 $\frac1k$;
$y=kf(x)$ 纵坐标伸为 $k$ 倍。

心形线：$r=a(1-\cos\theta)$（另三种朝向：$a(1+\cos\theta)$、$a(1\pm\sin\theta)$）;
面积 $\frac{3}{2}\pi a^{2}$，弧长 $8a$。
双纽线：$r^{2}=a^{2}\cos2\theta$（左右）、$r^{2}=a^{2}\sin2\theta$（上下）;
面积 $\frac{a^{2}}{2}$（单叶）。
玫瑰线：$r=a\sin n\theta$（$n$ 奇叶数 $=n$; $n$ 偶叶数 $=2n$）。
摆线：$\begin{cases}x=a(t-\sin t)\\[4pt] y=a(1-\cos t)\end{cases}$;
一拱长 $8a$，与 $x$ 轴围面积 $3\pi a^{2}$，绕 $x$ 轴旋转体积 $5\pi^{2}a^{3}$。
星形线：$\begin{cases}x=a\cos^{3}t\\[4pt] y=a\sin^{3}t\end{cases}$（$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$）;
全长 $6a$，面积 $\frac{3\pi a^{2}}8$。
螺线：阿基米德 $r=a\theta$;
对数 $r=e^{a\theta}$;
双曲 $r\theta=a$。
笛卡儿叶形线：$x^{3}+y^{3}-3axy=0$，参数式 $\begin{cases}x=\frac{3at}{1+t^{3}}\\[4pt] y=\frac{3at^{2}}{1+t^{3}}\end{cases}$，渐近线 $x+y+a=0$。

均值：$\dfrac{2}{\frac1a+\frac1b}\le\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}2\le\sqrt{\dfrac{a^{2}+b^{2}}2} (a,b>0)$;
三角：$\sin x<x<\tan x (0<x<\frac\pi2)$，$\frac2\pi<\frac{\sin x}x<1 (0<x<\frac\pi2)$;
对指：$\dfrac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x (x>0)$;
$x-\ln(1+x)<\dfrac{x^{2}}{2}$;
$x\ln x\ge-\dfrac1e (x>0)$;
$e^{x}>1+x$;
$e^{x}-\ln x>2$;
$(1+\frac1x)^{x}<e<x\bigl(1+\frac1x\bigr)^{x+1}$;
$n!<n^{n}$;
$|\sin x|\le|x|$;
$|\cos x|\le\bigl|x-\frac\pi2\bigr|$（点 $\frac\pi2$ 附近）。

极限保号性加强：$\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a\neq0⇒$ 尾部 $|x_n|>\frac{|a|}{2}$;
单调：$f$ 增 $⇒(x-x_0)[f(x)-f(x_0)]\ge0$;
积分和放缩（$f$ 单减）：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k+1)\le\int_1^{n}f(x) \mathrm{d}x\le\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$，由此 $\ln n$ 与调和和 $\sum\limits_{k=1}^{n}\frac1k$ 互相夹逼;
凹凸性：$f''>0⇒ f(x)\le f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$（弦在曲线上方）。